Comment trouver le rayon avec les longueurs d’accord et les longueurs d’arc.

De nombreux problèmes de géométrie demandent au solveur de calculer le rayon d’un cercle à partir d’informations données sur le cercle, telles que les longueurs d’arc, les longueurs d’accord et les angles d’arc. Bien qu’il existe des solutions explicites à bon nombre de ces problèmes, dans les cas où la longueur d’un accord et son arc correspondant sont connus et le rayon inconnu, seule une solution implicitement définie est possible. Vous pouvez toujours utiliser l’approximation de la série de Taylor du sinus d’un angle pour obtenir une réponse approximative.

Tracez une ligne droite du centre du cercle jusqu’au milieu exact de l’accord et de l’arc à l’aide de votre règle. La longueur de cette ligne est égale au rayon du cercle et est perpendiculaire à la corde. Marquez l’un des angles formés par cette ligne et l’un des rayons de l’arc « x ».

Le sinus de x est égal à l’hypoténuse inverse du triangle formé par la ligne que vous avez tracée, le rayon de l’arc et la moitié de la longueur de l’accord, de sorte que sin x = C/2R. L’angle de l’arc est égal à la longueur de l’arc divisée par le rayon, de sorte que l’angle x, qui est la moitié de la mesure de l’angle de l’arc, est égal à la moitié de la longueur de l’arc divisée par le rayon, ou A/2R.

Combinez les deux équations dérivées à l’étape précédente pour éliminer x, ne laissant que la variable R et les longueurs connues A et C. Vous savez que R * sin x = C/2, et vous pouvez substituer « A/2R » à x pour obtenir l’équation R * sin (A/2R) = C/2. C’est la solution implicite pour le rayon du cercle, étant donné la longueur de l’arc et la longueur de la corde.

Approximate sin (A/2R) en utilisant les deux premiers termes de la série de Taylor approximation du sinus : x – (x^3/6). Sin (A/2R) est approximativement égal à A/2R – 1/6 * (A/2R)^3.

Branchez la valeur de l’étape précédente dans la solution implicite de l’étape 3 pour obtenir l’équation R * (A/2R – 1/6 * (A/2R)^3) = C/2. Cela simplifie à (A/2 – C/2) * R^2 = A^3/48. La résolution de R donne l’équation R^2 = (A^3/(24 * (A – C))). Si la longueur de l’arc est de 4 et la longueur de la corde est de 3,5, le rayon au carré est égal à 4 divisé par 12, soit 5,33. La racine carrée de 5,33 est de 2,31, soit la longueur du rayon.

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