Que sont les surs infinis ?

Une surd est une somme avec un ou plusieurs nombres irrationnels exprimés par un signe radical comme addition. Les exemples sont 1+√, √+√ et √(1+√(1+√(1+√))). Par conséquent, une surd infinie a un nombre infini de tels addends. Un exemple est dans le diagramme.

Comment résoudre

La stratégie pour résoudre la valeur d’une surd infinie est de profiter de la répétition de motifs. La somme est une valeur inconnue, donc mettez-la à x inconnue. Ensuite, voyez si x apparaît dans le motif de la surd, et remplacez-la par un x, dans le but de remplacer un nombre infini de termes par elle. Avec des x des deux côtés de l’équation, x peut être résolu pour.

Surfaces de nombres inconnus

La même approche peut être utilisée pour résoudre les cordes qui n’ont pas de numéros branchés. Dans le diagramme, k est un nombre inconnu ou indéterminé, mais la forme de l’équation est la même que ci-dessus. (La formule quadratique est utilisée ici pour résoudre la troisième ligne.) Notez que la valeur positive du radical est la seule réponse possible, puisque x est clairement positif. Notez que si k=1, le résultat est le Ratio d’Or.

Géométrique Infinite Surd

Les arguments d’une surd n’ont pas besoin d’être constants. Ils peuvent augmenter de façon exponentielle. Étonnamment, une telle expression converge encore au lieu d’aller à l’infini. Notez que la proportion dorée apparaît à nouveau dans la réponse.

Une illusion

En ce qui concerne la question de la convergence, il peut sembler que, puisque 1 &lt ; √x pour 1 &lt ; x, alors ces surds infinis ne devraient pas converger. Après tout, une certaine puissance d’un nombre supérieur à 1 est ce qui est ajouté à la fin au fur et à mesure que la surd est étendue, n’est-ce pas ?

Pas vraiment. Parce que chaque radical supplémentaire est ajouté à un autre nombre AVANT que le radical suivant à gauche soit appliqué, l’ajout d’un nouveau terme est énormément tempéré, de sorte qu’il s’agit d’un ajout de beaucoup moins de 1.

Par exemple, √ = 5, mais √ ≈ 5.10 — une augmentation de beaucoup inférieure à 1.

Problèmes connexes

La méthode pour trouver la valeur des surds infinis ci-dessus peut être étendue à d’autres problèmes infinis, par exemple des fractions infinies et des décimales infinies. Notez que la Ratio d’Or revient encore une fois.

Le nombre d’or

A ce stade, on peut se demander pourquoi la Ratio d’Or continue de monter, si c’est particulier aux surs, ou même ce que c’est. Il est défini comme suit. Supposons que l’on divise un segment de ligne A en deux parties, B et C, où B est la plus grande des deux parties. Supposons que la rupture de A soit positionnée de telle sorte que le rapport de B à C soit égal au rapport de A à B. Ce rapport est la règle d’or. Il n’est pas propre aux surs infinis. Elle se présente également sous forme de fractions infinies, comme indiqué ci-dessus. Il s’agit de la géométrie (en particulier le pentagone), des séquences de nombres, et même de la biologie. La raison de sa fréquence est probablement due à la simplicité de sa définition. Un nombre qui résout des équations aussi simples que x^2 – x – x – 1 = 0 et 1/x = x – 1 (qui suivent immédiatement la définition du segment de ligne) est lié à l’apparition occasionnelle de motifs de nombres et de géométrie.